Suites arithmétiques et géométriques
Suites arithmétiques et géométriques : définition, comment les reconnaître et le démontrer, terme général, sommes, évolutions en pourcentage et suites arithmético-géométriques.
1. Suites arithmétiques : on ajoute toujours la même quantité
Définition
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (la raison) tel que, pour tout $n$ : $u_{n+1} = u_n + r$.
Exemple · Un salaire qui augmente de 60 € par an
Un salarié gagne $1\,500$ € par mois la première année ($u_0 = 1\,500$) et son salaire augmente de $60$ € chaque année : $u_{n+1} = u_n + 60$. C'est une suite arithmétique de raison $60$ : $u_1 = 1\,560$, $u_2 = 1\,620$…
Propriété · Terme général
$$u_n = u_0 + nr \qquad \text{et plus généralement} \qquad u_n = u_p + (n - p)r.$$Pour le salaire : $u_{10} = 1\,500 + 10 \times 60 = 2\,100$ €.
Méthode · Montrer qu'une suite est arithmétique
- Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ pour un $n$ quelconque.
- Montrer que le résultat est une constante $r$ (il ne dépend pas de $n$).
- Conclure : « $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0 = \dots$ ».
Exemple : $u_n = 4n - 7$. $u_{n+1} - u_n = 4(n + 1) - 7 - (4n - 7) = 4$ : arithmétique de raison $4$, $u_0 = -7$.
Méthode · Montrer qu'une suite n'est pas arithmétique
Il suffit d'un contre-exemple : $u_n = n^2$ : $u_1 - u_0 = 1$ mais $u_2 - u_1 = 3$. Les différences ne sont pas constantes.
Propriété · Variations
Si $r \gt 0$, la suite est croissante ; si $r \lt 0$, décroissante. Ses points sont alignés : croissance linéaire.
Propriété · Somme des termes
$$1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$$Plus généralement, la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut : $\text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.
2. Suites géométriques : on multiplie toujours par le même nombre
Définition
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ (la raison) tel que, pour tout $n$ : $u_{n+1} = q \times u_n$.
Exemple · Un salaire qui augmente de 3,5 % par an
Un autre salarié gagne aussi $1\,500$ € la première année, mais son salaire augmente de $3{,}5\,\%$ par an. Augmenter de $3{,}5\,\%$, c'est multiplier par $1 + \dfrac{3{,}5}{100} = 1{,}035$ : $v_{n+1} = 1{,}035\,v_n$. C'est une suite géométrique de raison $1{,}035$.
Propriété · Pourcentages et suites géométriques
- Une hausse de $t\,\%$ par période donne une suite géométrique de raison $q = 1 + \dfrac{t}{100}$.
- Une baisse de $t\,\%$ par période donne une suite géométrique de raison $q = 1 - \dfrac{t}{100}$ (baisse de $20\,\%$ : $q = 0{,}8$).
- Une hausse d'un montant fixe donne une suite arithmétique.
Propriété · Terme général
$$v_n = v_0 \times q^n \qquad \text{et} \qquad v_n = v_p \times q^{n-p}.$$Pour le salaire : $v_{10} = 1\,500 \times 1{,}035^{10} \approx 2\,116$ €.
Méthode · Montrer qu'une suite est géométrique
- Exprimer $u_{n+1}$ pour un $n$ quelconque.
- Faire apparaître $u_{n+1} = q \times u_n$ avec $q$ constant (indépendant de $n$). Si les termes ne sont jamais nuls, on peut aussi montrer que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant.
- Conclure : « $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0 = \dots$ ».
Exemple : $u_n = 5 \times 3^{n+2}$. $u_{n+1} = 5 \times 3^{n+3} = 3 \times (5 \times 3^{n+2}) = 3u_n$ : géométrique de raison $3$, $u_0 = 45$.
Méthode · Montrer qu'une suite n'est pas géométrique
Contre-exemple : $u_n = n + 1$ : $\dfrac{u_1}{u_0} = 2$ mais $\dfrac{u_2}{u_1} = 1{,}5$. Les quotients ne sont pas constants.
Propriété · Variations (u? > 0)
Si $q \gt 1$, la suite est croissante ; si $0 \lt q \lt 1$, elle est décroissante (et tend vers $0$) ; si $q = 1$, constante. Si $q \lt 0$, les signes alternent.
Propriété · Somme des termes
$$1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad (q \neq 1).$$Donc $u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
Attention · Le piège classique
Deux hausses de $10\,\%$ ne font pas $20\,\%$ : $1{,}1^2 = 1{,}21$, soit $+21\,\%$. Et $10$ ans à $+3{,}5\,\%$ font $1{,}035^{10} \approx 1{,}41$, soit $+41\,\%$ et non $+35\,\%$.
3. Suites arithmético-géométriques
Définition
Une suite définie par $u_{n+1} = a\,u_n + b$ (avec $a \neq 1$ et $b \neq 0$) est arithmético-géométrique : on multiplie (partie « géométrique ») puis on ajoute (partie « arithmétique »). Elle modélise de nombreuses situations : pourcentage de perte + apport fixe.
Exemple · Abonnés à une plateforme
Une plateforme a $500$ abonnés. Chaque mois, $20\,\%$ des abonnés résilient et $300$ nouveaux s'inscrivent. Garder $80\,\%$, c'est multiplier par $0{,}8$ : $u_{n+1} = 0{,}8u_n + 300$, $u_0 = 500$.
Méthode · La méthode en 4 étapes
- Chercher le point fixe $\ell$ : solution de $\ell = a\ell + b$. Ici $\ell = 0{,}8\ell + 300 \iff \ell = 1\,500$.
- Poser une suite auxiliaire $v_n = u_n - \ell = u_n - 1\,500$.
- Montrer que $(v_n)$ est géométrique : $v_{n+1} = u_{n+1} - 1\,500 = 0{,}8u_n + 300 - 1\,500 = 0{,}8u_n - 1\,200 = 0{,}8(u_n - 1\,500) = 0{,}8v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$ et $v_0 = 500 - 1\,500 = -1\,000$.
- En déduire $u_n$ : $v_n = -1\,000 \times 0{,}8^n$, donc $u_n = 1\,500 - 1\,000 \times 0{,}8^n$.
Comme $0{,}8^n$ tend vers $0$, le nombre d'abonnés tend vers $1\,500$.
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Arithmétique ou géométrique ?
★☆☆Préciser la nature et la raison : a) $3, 7, 11, 15, \dots$ ; b) $2, 6, 18, 54, \dots$ ; c) $100, 90, 81, 72{,}9, \dots$ ; d) $1, 4, 9, 16, \dots$
Montrer qu'une suite est arithmétique
★☆☆Montrer que la suite définie par $u_n = \dfrac{3n - 5}{2}$ est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
Montrer qu'une suite est géométrique
★★☆Montrer que $u_n = \dfrac{2^n}{3^{n+1}}$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Terme général arithmétique
★☆☆$(u_n)$ est arithmétique avec $u_3 = 14$ et $u_8 = 29$. Calculer la raison, $u_0$ et $u_{50}$.
Terme général géométrique
★☆☆$(v_n)$ est géométrique de raison $q = 2$ avec $v_4 = 48$. Calculer $v_0$ et $v_{10}$.
Hausse en pourcentage
★☆☆Un loyer de $800$ € augmente de $2\,\%$ par an. Modéliser par une suite, puis calculer le loyer au bout de $5$ ans.
Baisse en pourcentage
★☆☆Une voiture achetée $24\,000$ € perd $15\,\%$ de sa valeur chaque année. Quelle est sa valeur après $6$ ans ?
Intérêts simples ou composés
★★☆On place $2\,000$ €. Placement A : $+80$ € par an (intérêts simples). Placement B : $+3{,}5\,\%$ par an (intérêts composés). Exprimer $a_n$ et $b_n$, puis comparer au bout de $10$ et de $20$ ans.
Somme arithmétique
★★☆Calculer $S = 1 + 2 + \dots + 100$, puis $T = 5 + 8 + 11 + \dots + 302$.
Somme géométrique
★★☆Calculer $S = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10}$ puis $T = 3 + 3 \times 0{,}5 + \dots + 3 \times 0{,}5^{9}$.
Épargne mensuelle
★★☆Léa met de côté $20$ € le premier mois, puis $5$ € de plus chaque mois ($25$ €, $30$ €…). Combien aura-t-elle économisé en $12$ mois ?
Doubler un capital
★★☆Un capital placé à $4\,\%$ par an : au bout de combien d'années aura-t-il doublé ? (Utiliser la calculatrice ou un programme.)
Arithmético-géométrique : piscine
★★☆Une piscine contient $60$ m³ d'eau. Chaque semaine, $5\,\%$ de l'eau s'évapore, puis on ajoute $2$ m³. On note $u_n$ le volume après $n$ semaines. 1) Justifier que $u_{n+1} = 0{,}95u_n + 2$. 2) On pose $v_n = u_n - 40$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique. 3) En déduire $u_n$ et la limite.
Arithmético-géométrique : médicament
★★★Un patient reçoit chaque jour une injection de $2$ mg d'un médicament ; entre deux injections, l'organisme élimine $30\,\%$ du médicament présent. On note $u_n$ la quantité juste après la $n$-ième injection ($u_1 = 2$). 1) Montrer que $u_{n+1} = 0{,}7u_n + 2$. 2) Déterminer le point fixe $\ell$. 3) Montrer que $v_n = u_n - \ell$ est géométrique et en déduire $u_n$. 4) Vers quelle quantité tend $u_n$ ?
Arithmético-géométrique : forêt
★★★Une forêt compte $5\,000$ arbres. Chaque année, on coupe $10\,\%$ des arbres et on en plante $300$. Déterminer $u_n$ et le nombre d'arbres à long terme. La forêt grandit-elle ou diminue-t-elle ?
Arithmético-géométrique : épargne
★★★On place $1\,000$ € à $2\,\%$ par an et on ajoute $500$ € à la fin de chaque année. 1) Écrire $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. 2) Montrer que $v_n = u_n + 25\,000$ est géométrique. 3) Calculer le capital au bout de $10$ ans.
Trouver la suite auxiliaire
★★☆$u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 3u_n - 4$. Trouver le point fixe, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Population : deux modèles
★★★Une ville de $20\,000$ habitants. Modèle 1 : $+400$ habitants par an. Modèle 2 : $+1{,}8\,\%$ par an. Écrire $u_n$ et $v_n$, puis déterminer avec un programme à partir de quelle année le modèle 2 prévoit plus d'habitants.
Rang d'un terme
★★☆$(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $-4$. Le nombre $-193$ est-il un terme de la suite ? Si oui, de quel rang ?
Vrai ou faux
★★☆a) Une hausse de $5\,\%$ par an donne une suite arithmétique. b) Si $u_{n+1} = u_n + 3$, alors $u_n = u_0 + 3n$. c) Une suite géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme positif est décroissante. d) $u_{n+1} = 2u_n + 1$ définit une suite géométrique.
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