Fonctions trigonométriques
Radian, cercle trigonométrique, enroulement de la droite réelle, cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables, fonctions cosinus et sinus.
1. Le radian et le cercle trigonométrique
Définition
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens direct). Le radian est la mesure d'un angle qui intercepte sur ce cercle un arc de longueur $1$ : $\pi$ rad $= 180°$.
Propriété · Conversion
$\text{angle en radians} = \text{angle en degrés} \times \dfrac{\pi}{180}$. Ainsi $90° = \dfrac{\pi}{2}$, $60° = \dfrac{\pi}{3}$, $45° = \dfrac{\pi}{4}$, $30° = \dfrac{\pi}{6}$.
Propriété · Enroulement
En enroulant la droite des réels autour du cercle, on associe à tout réel $t$ un point $M$ du cercle. Les réels $t$ et $t + 2k\pi$ ($k$ entier) donnent le même point.
2. Cosinus et sinus d'un réel
Définition
Si $M$ est le point du cercle trigonométrique associé à $t$, alors $\cos t$ est l'abscisse de $M$ et $\sin t$ son ordonnée.
Propriété · Propriétés
- $-1 \leq \cos t \leq 1$ et $-1 \leq \sin t \leq 1$.
- $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ (théorème de Pythagore).
- $\cos(t + 2\pi) = \cos t$ et $\sin(t + 2\pi) = \sin t$.
- $\cos(-t) = \cos t$ et $\sin(-t) = -\sin t$.
Propriété · Valeurs remarquables
| $t$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos t$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ |
| $\sin t$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ |
Propriété · Angles associés
$\cos(\pi - t) = -\cos t$, $\sin(\pi - t) = \sin t$ ; $\cos(\pi + t) = -\cos t$, $\sin(\pi + t) = -\sin t$ ; $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - t\right) = \sin t$.
3. Les fonctions cosinus et sinus
Propriété
Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont définies sur $\mathbb{R}$ et périodiques de période $2\pi$. Cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées), sinus est impaire (symétrique par rapport à l'origine). Leurs courbes sont des sinusoïdes.
Exemple · Application : un signal
La tension du secteur est modélisée par $u(t) = 325\sin(100\pi t)$ (en V) : elle oscille entre $-325$ et $325$ V avec une période de $\dfrac{2\pi}{100\pi} = 0{,}02$ s, soit $50$ Hz.
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Exercices corrigés
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Conversions
★☆☆Convertir en radians : $120°$, $135°$, $150°$, $270°$. Convertir en degrés : $\dfrac{5\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{12}$.
Placer des points
★☆☆Placer sur le cercle trigonométrique les points associés à $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $-\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3\pi}{4}$ et $\dfrac{9\pi}{4}$.
Valeurs remarquables
★☆☆Donner $\cos\dfrac{\pi}{3}$, $\sin\dfrac{\pi}{6}$, $\cos\dfrac{\pi}{4}$, $\sin\dfrac{\pi}{2}$, $\cos \pi$.
Angles associés
★★☆Calculer $\cos\dfrac{2\pi}{3}$, $\sin\dfrac{5\pi}{6}$, $\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$, $\sin\dfrac{7\pi}{6}$.
Réduire un angle
★★☆Trouver le réel de $]-\pi\,;\,\pi]$ associé au même point que $\dfrac{17\pi}{6}$, puis calculer $\cos\dfrac{17\pi}{6}$.
Relation fondamentale
★★☆$t \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$ et $\sin t = \dfrac{3}{5}$. Calculer $\cos t$.
Équation cos t = a
★★☆Résoudre dans $]-\pi\,;\,\pi]$ : $\cos t = \dfrac{1}{2}$.
Équation sin t = a
★★☆Résoudre dans $[0\,;\,2\pi[$ : $\sin t = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Inéquation
★★★Résoudre dans $[0\,;\,2\pi[$ : $\cos t \geq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Parité
★★☆Étudier la parité de $f(t) = t\sin t$ et de $g(t) = \cos t + \sin t$.
Périodicité
★★☆Montrer que $f(t) = \cos(2t)$ est périodique de période $\pi$.
Longueur d'arc
★☆☆Sur un cercle de rayon $5$ cm, quelle est la longueur d'un arc intercepté par un angle de $\dfrac{\pi}{5}$ rad ?
Tension alternative
★★☆$u(t) = 12\cos(100\pi t)$. Donner la valeur maximale, la période et la fréquence. Calculer $u(0{,}005)$.
Grande roue
★★★Une nacelle de grande roue (rayon $20$ m, axe à $22$ m du sol) est à la hauteur $h(t) = 22 - 20\cos\left(\dfrac{\pi}{5}t\right)$ ($t$ en min). Hauteurs minimale et maximale ? Durée d'un tour ?
Simplifier
★★☆Simplifier $A = \cos(\pi - x) + \cos(\pi + x) + 2\cos x$.
Lire une sinusoïde
★☆☆Sur la figure du cours, en quels points de $[0\,;\,2\pi]$ la courbe du cosinus coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Où atteint-elle son minimum ?
Point du cercle
★★☆Le point $M\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)$ est sur le cercle trigonométrique. Quel réel de $]-\pi\,;\,\pi]$ lui est associé ?
Tangente d'un angle
★★★On définit $\tan t = \dfrac{\sin t}{\cos t}$. Calculer $\tan\dfrac{\pi}{4}$, $\tan\dfrac{\pi}{3}$ et $\tan\dfrac{\pi}{6}$.
Dans un triangle
★★☆Vérifier sur le triangle équilatéral de côté $2$ (partagé par une hauteur) que $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Vrai ou faux
★★☆a) $\cos(-t) = -\cos t$. b) $\sin$ est périodique de période $2\pi$. c) $\cos t$ peut valoir $1{,}5$. d) $\pi$ rad $= 180°$.
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