Géométrie repérée
Vecteur normal et équation cartésienne d'une droite, droites perpendiculaires, équation d'un cercle, parabole.
1. Vecteur normal et équation de droite
Définition
Un vecteur normal à une droite $d$ est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de $d$.
Propriété
La droite passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$. Elle a une équation de la forme $ax + by + c = 0$. Réciproquement, $\vec{n}(a\,;\,b)$ est normal à la droite d'équation $ax + by + c = 0$.
Exemple
Droite passant par $A(2\,;\,3)$ de vecteur normal $\vec{n}(2\,;\,3)$ : $2(x - 2) + 3(y - 3) = 0 \iff 2x + 3y - 13 = 0$.
Propriété · Droites perpendiculaires
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux (ou directeurs) sont orthogonaux. Pour des équations réduites $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ : $d \perp d' \iff mm' = -1$.
2. Équation d'un cercle
Propriété
Le cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.
Propriété · Cercle de diamètre [AB]
$M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ (angle droit en $M$).
Méthode · Reconnaître un cercle
$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 \iff (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 - 3 = 0 \iff (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$ : cercle de centre $(2\,;\,-3)$ et de rayon $4$ (on complète les carrés).
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Exercices corrigés
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Vecteur normal
★☆☆Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de la droite $3x - 5y + 2 = 0$.
Équation avec un vecteur normal
★☆☆Déterminer une équation de la droite passant par $A(1\,;\,-2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(4\,;\,1)$.
Hauteur d'un triangle
★★☆$A(1\,;\,3)$, $B(-2\,;\,0)$, $C(4\,;\,-1)$. Déterminer une équation de la hauteur issue de $A$.
Médiatrice
★★☆Déterminer une équation de la médiatrice de $[AB]$ avec $A(1\,;\,2)$ et $B(5\,;\,4)$.
Droites perpendiculaires
★☆☆Les droites $d_1 : y = 2x + 1$ et $d_2 : y = -\dfrac{1}{2}x + 3$ sont-elles perpendiculaires ?
Perpendiculaire passant par un point
★★☆Déterminer l'équation réduite de la perpendiculaire à $y = 3x - 2$ passant par $A(3\,;\,1)$.
Projeté orthogonal sur une droite
★★★Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $A(4\,;\,5)$ sur la droite $d : x + y - 3 = 0$, puis la distance de $A$ à $d$.
Équation d'un cercle
★☆☆Écrire l'équation du cercle de centre $\Omega(-1\,;\,2)$ et de rayon $3$. Le point $A(2\,;\,2)$ lui appartient-il ?
Reconnaître un cercle
★★☆Montrer que $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$ est l'équation d'un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Ce n'est pas un cercle
★★☆L'ensemble des points vérifiant $x^2 + y^2 - 2x + 5 = 0$ est-il un cercle ?
Cercle de diamètre donné
★★☆Déterminer l'équation du cercle de diamètre $[AB]$ avec $A(1\,;\,1)$ et $B(5\,;\,3)$.
Intersection droite-cercle
★★★Déterminer les points d'intersection du cercle $x^2 + y^2 = 25$ et de la droite $y = x + 1$.
Tangente à un cercle
★★★Déterminer une équation de la tangente au cercle de centre $\Omega(1\,;\,2)$ passant par $A(4\,;\,6)$ (le point $A$ est sur le cercle).
Point sur une droite
★☆☆Le point $B(3\,;\,-1)$ appartient-il à la droite $2x + 5y - 1 = 0$ ?
Parabole
★★☆Déterminer le sommet de la parabole d'équation $y = 2x^2 - 8x + 3$ et son axe de symétrie.
Parabole et droite
★★☆La droite $y = 2x - 1$ est-elle tangente à la parabole $y = x^2$ ? (Nombre de points d'intersection.)
Cercle et triangle rectangle
★★★$A(-2\,;\,0)$, $B(2\,;\,0)$, $M(0\,;\,2)$. Vérifier que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$. Que peut-on en déduire ?
Distance d'un point à une droite
★★★On admet que la distance de $M(x_0\,;\,y_0)$ à la droite $ax + by + c = 0$ vaut $\dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. Vérifier le résultat de l'exercice « Projeté orthogonal sur une droite ».
Cercles et Python
★★☆Écrire une fonction sur_cercle(x, y, a, b, r) qui renvoie True si le point $(x\,;\,y)$ est sur le cercle de centre $(a\,;\,b)$ et de rayon $r$ (à $10^{-9}$ près).
Vrai ou faux
★★☆a) $\vec{n}(a\,;\,b)$ est directeur de $ax + by + c = 0$. b) Deux droites de coefficients directeurs $2$ et $-\dfrac{1}{2}$ sont perpendiculaires. c) $x^2 + y^2 = 9$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $9$.
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