Suites arithmétiques et géométriques
Suites arithmétiques (évolution en valeur constante) et géométriques (évolution en pourcentage constant) : définition, terme général, comment les reconnaître et le démontrer, variations, sommes, intérêts simples et composés.
1. Suites arithmétiques : + la même quantité
Définition
Une suite est arithmétique de raison $r$ si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours $r$ : $u_{n+1} = u_n + r$. Elle modélise une évolution en valeur constante (même augmentation ou diminution, en unités, à chaque étape).
Propriété · Terme général
$u_n = u_0 + n\,r$ (et plus généralement $u_n = u_p + (n - p)\,r$).
Exemple · Intérêts simples
On place $2\,000$ € à $3\,\%$ par an à intérêts simples : on gagne chaque année $3\,\%$ de $2\,000$, soit $60$ €. Le capital $u_n = 2\,000 + 60n$ est arithmétique de raison $60$ : $u_5 = 2\,300$ €.
2. Suites géométriques : × le même nombre
Définition
Une suite est géométrique de raison $q$ si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par $q$ : $u_{n+1} = q \times u_n$. Elle modélise une évolution en pourcentage constant : une hausse de $t\,\%$ donne $q = 1 + \dfrac{t}{100}$, une baisse de $t\,\%$ donne $q = 1 - \dfrac{t}{100}$.
Propriété · Terme général
$u_n = u_0 \times q^n$.
Exemple · Intérêts composés
On place $2\,000$ € à $3\,\%$ par an à intérêts composés : chaque année, le capital est multiplié par $1{,}03$. $u_n = 2\,000 \times 1{,}03^n$ et $u_5 \approx 2\,318{,}55$ €.
Exemple · Baisse en pourcentage
Un appareil médical de $12\,000$ € perd $15\,\%$ de sa valeur chaque année : $v_n = 12\,000 \times 0{,}85^n$ ; au bout de $4$ ans, $v_4 \approx 6\,264$ €.
3. Reconnaître et démontrer
Méthode · Montrer qu'une suite est arithmétique
- Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ pour un $n$ quelconque.
- Montrer qu'elle est constante (ne dépend pas de $n$) : c'est la raison $r$.
Exemple : $u_n = 7 - 4n$ ; $u_{n+1} - u_n = 7 - 4(n + 1) - (7 - 4n) = -4$ : arithmétique de raison $-4$.
Méthode · Montrer qu'une suite est géométrique
- Exprimer $u_{n+1}$ et le mettre sous la forme $q \times u_n$ (ou calculer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ si les termes ne sont pas nuls).
- Vérifier que $q$ est constant.
Exemple : $u_n = 4 \times 1{,}1^n$ ; $u_{n+1} = 4 \times 1{,}1^{n+1} = 1{,}1 \times u_n$ : géométrique de raison $1{,}1$.
Méthode · Montrer qu'une suite n'est pas arithmétique (ou géométrique)
Un contre-exemple suffit : pour $u_n = n^2 + 1$, $u_0 = 1$, $u_1 = 2$, $u_2 = 5$. Les différences $1$ et $3$ ne sont pas égales : pas arithmétique. Les quotients $2$ et $2{,}5$ ne sont pas égaux : pas géométrique.
4. Variations et représentation
Propriété
- Suite arithmétique : croissante si $r \gt 0$, décroissante si $r \lt 0$. Ses points sont alignés.
- Suite géométrique de premier terme positif : croissante si $q \gt 1$, décroissante si $0 \lt q \lt 1$. Ses points ne sont pas alignés.
5. Sommes de termes
Propriété
$1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$ et, pour $q \neq 1$ : $1 + q + q^2 + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique : $\text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.
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Exercices corrigés
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Arithmétique ou géométrique ?
★☆☆Préciser la nature et la raison : a) $5, 8, 11, 14, \dots$ ; b) $3, 6, 12, 24, \dots$ ; c) $100, 90, 81, 72{,}9, \dots$ ; d) $1, 4, 9, 16, \dots$
Terme d'une suite arithmétique
★☆☆$(u_n)$ est arithmétique, $u_0 = 12$ et $r = -2{,}5$. Calculer $u_8$.
Terme d'une suite géométrique
★☆☆$(u_n)$ est géométrique, $u_0 = 40$ et $q = 1{,}5$. Calculer $u_4$.
Retrouver la raison
★★☆$(u_n)$ est arithmétique avec $u_3 = 17$ et $u_7 = 33$. Calculer $r$ et $u_0$.
Retrouver la raison géométrique
★★☆$(u_n)$ est géométrique de raison positive, $u_1 = 6$ et $u_3 = 54$. Calculer $q$ et $u_0$.
Démontrer : arithmétique
★★☆Montrer que la suite définie par $u_n = 7 - 4n$ est arithmétique.
Démontrer : géométrique
★★☆Montrer que la suite définie par $u_n = 4 \times 1{,}1^n$ est géométrique.
Ni arithmétique ni géométrique
★★☆Montrer que la suite $u_n = n^2 + 1$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
Intérêts simples
★☆☆On place $2\,000$ € à intérêts simples de $3\,\%$ par an. Exprimer le capital $u_n$ après $n$ années, puis calculer $u_5$.
Intérêts composés
★★☆Même placement, mais à intérêts composés de $3\,\%$ par an. Exprimer $v_n$ et calculer $v_5$. Comparer.
Abonnés d'une salle de sport
★★☆Une salle compte $1\,500$ abonnés et en gagne $120$ chaque mois. Au bout de combien de mois dépassera-t-elle $3\,000$ abonnés ?
Dépréciation d'un appareil
★★☆Un appareil d'échographie de $12\,000$ € perd $15\,\%$ de sa valeur par an. Exprimer sa valeur $v_n$ et calculer $v_4$.
Sens de variation
★☆☆Donner le sens de variation : a) arithmétique de raison $-3$ ; b) géométrique, $u_0 = 50$, $q = 0{,}7$ ; c) géométrique, $u_0 = 2$, $q = 1{,}2$.
Somme des entiers
★★☆Calculer $1 + 2 + 3 + \dots + 100$.
Économies progressives
★★☆Une personne économise $10$ € la 1re semaine, $15$ € la 2e, $20$ € la 3e, etc. Combien a-t-elle économisé en $20$ semaines ?
Somme géométrique
★★★Calculer $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10}$.
Versements croissants
★★★Un salarié verse $100$ € le 1er mois sur un compte, puis augmente son versement de $2\,\%$ chaque mois. Quel total a-t-il versé en $12$ mois ?
Lire un graphique
★☆☆Dans la figure du cours, quelle suite a des points alignés ? Quelle est sa raison ? À partir de quelle année le placement B dépasse-t-il A ?
Choisir un modèle
★★★Le nombre de dossiers traités chaque année vaut $200$, $220$, $242$, $266{,}2$. Quel modèle choisir ? Prévoir la valeur dans $6$ ans (rang $6$).
Vrai ou faux
★★☆a) Une évolution de $+5\,\%$ par an se modélise par une suite arithmétique. b) Les points d'une suite arithmétique sont alignés. c) Si $q = 0{,}9$ et $u_0 \gt 0$, la suite est décroissante.
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