Proportionnalité et premier degré
Situations de proportionnalité, coefficient, règle de trois, pourcentages, échelles, mise en équation d'un problème et résolution d'équations et d'inéquations du premier degré.
1. Proportionnalité
Définition
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on obtient les valeurs de l'une en multipliant celles de l'autre par un même nombre, le coefficient de proportionnalité. Dans un tableau de proportionnalité, les « produits en croix » sont égaux : si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, alors $ad = bc$.
Exemple · Règle de trois
$3$ flacons de gel coûtent $7{,}50$ €. Un flacon : $2{,}50$ € ; $8$ flacons : $20$ €.
Propriété · Pourcentages et échelles
Appliquer un taux de $t\,\%$, c'est multiplier par $\dfrac{t}{100}$ (situation de proportionnalité). Échelle $\dfrac{1}{50}$ : $1$ cm sur le plan représente $50$ cm en réalité.
2. Équations du premier degré
Méthode · Résoudre un problème
- Choisir l'inconnue $x$ (avec son unité).
- Traduire l'énoncé par une équation.
- Résoudre : on ajoute ou soustrait, on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre non nul.
- Vérifier et conclure par une phrase.
Exemple
Une aide à domicile est payée $12$ € de l'heure, plus $30$ € de frais fixes. Combien d'heures pour $174$ € ? $12x + 30 = 174 \iff 12x = 144 \iff x = 12$ heures.
Attention · Inéquations
Quand on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité : $-2x \gt 6 \iff x \lt -3$.
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Exercices corrigés
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Reconnaître la proportionnalité
★☆☆Le tableau $1 \to 3$ ; $2 \to 6$ ; $5 \to 15$ ; $8 \to 25$ est-il de proportionnalité ?
Coefficient
★☆☆$4$ kg de pommes coûtent $7{,}20$ €. Coefficient de proportionnalité (prix au kg) ? Prix de $2{,}5$ kg ?
Règle de trois
★☆☆$3$ flacons coûtent $7{,}50$ €. Prix de $8$ flacons ?
Produit en croix
★★☆Trouver $x$ tel que $\dfrac{x}{12} = \dfrac{5}{8}$.
Recette pour un groupe
★★☆Une compote pour $6$ enfants demande $900$ g de pommes. Pour $14$ enfants ?
Pourcentage d'une quantité
★☆☆$35\,\%$ des $240$ adhérents d'une association ont plus de $70$ ans. Combien ?
Échelle
★★☆Sur un plan au $\dfrac{1}{50}$, un lit médicalisé mesure $4$ cm sur $1{,}8$ cm. Dimensions réelles ?
Équations simples
★☆☆Résoudre : a) $x + 15 = 42$ ; b) $7x = 56$ ; c) $x - 8 = -3$ ; d) $\dfrac{x}{5} = 4$.
Équations à deux étapes
★☆☆Résoudre : a) $3x + 4 = 19$ ; b) $5x - 7 = 18$ ; c) $2x + 9 = 3$.
Inconnue des deux côtés
★★☆Résoudre : a) $4x + 3 = 2x + 11$ ; b) $7 - x = 2x + 1$.
Heures de travail
★★☆Payée $12$ € l'heure plus $30$ € de frais fixes, combien d'heures faut-il pour gagner $174$ € ?
Comparer deux tarifs
★★★Tarif A : $22$ €/h. Tarif B : $60$ € + $15$ €/h. À partir de combien d'heures B est-il plus avantageux ?
Lire la figure
★☆☆Sur la figure du cours, quel tarif est le moins cher pour $5$ heures ? pour $12$ heures ?
Mise en équation
★★☆Un pack de $3$ bouteilles de lait et un paquet de biscuits à $2$ € coûtent $5{,}60$ €. Prix d'une bouteille ?
Âges
★★☆Une mère a $26$ ans de plus que sa fille ; à elles deux, elles ont $40$ ans. Âge de la fille ?
Inéquations
★★☆Résoudre : a) $3x - 5 \lt 10$ ; b) $-2x \geq 8$ ; c) $4x + 1 \gt x + 7$.
Budget limité
★★☆Avec $50$ €, on achète un jeu à $14$ € et des livres à $6$ €. Combien de livres au maximum ?
Vitesse
★☆☆Une distance de $45$ km est parcourue à $60$ km/h. Durée ?
Vérifier une solution
★☆☆$x = 3$ est-il solution de $5x - 4 = 2x + 5$ ?
Vrai ou faux
★★☆a) Si deux grandeurs augmentent ensemble, elles sont proportionnelles. b) On change le sens d'une inégalité en divisant par un négatif. c) $2x = 10 \iff x = 20$.
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