Fonction inverse et optimisation
Fonction inverse et sa dérivée, dérivées des polynômes, tangente, tableau de variations, extremums, coût moyen et coût marginal, recette et bénéfice, optimisation en économie et en santé.
1. La fonction inverse
Définition
La fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est définie sur $]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[$. Sa dérivée est $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} \lt 0$ : elle est décroissante sur chacun des deux intervalles.
2. Dérivées et variations
Propriété · Dérivées usuelles
| $f(x)$ | $k$ | $x$ | $x^2$ | $x^3$ | $\dfrac{1}{x}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $0$ | $1$ | $2x$ | $3x^2$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ |
On dérive une somme terme à terme ; $(k\,u)' = k\,u'$.
Méthode · Étudier une fonction
- Calculer $f'(x)$ et étudier son signe (factorisation, tableau de signes).
- Dresser le tableau de variations : $f$ croît où $f' \gt 0$, décroît où $f' \lt 0$.
- Les extremums sont atteints là où $f'$ s'annule en changeant de signe (ou aux bornes).
Tangente au point d'abscisse $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
3. Optimisation en économie
Définition
Pour un coût total $C(q)$ de production de $q$ unités : le coût moyen est $C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}$ et le coût marginal $C'(q)$ (coût approximatif d'une unité supplémentaire). Le bénéfice est $B(q) = R(q) - C(q)$.
Exemple
$C(q) = q^2 + 10q + 400$ : $C_M(q) = q + 10 + \dfrac{400}{q}$, $C_M'(q) = 1 - \dfrac{400}{q^2} = \dfrac{(q - 20)(q + 20)}{q^2}$. Le coût moyen est minimal pour $q = 20$ : $C_M(20) = 50$ €, égal au coût marginal $C'(20) = 2 \times 20 + 10 = 50$ €.
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Exercices corrigés
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Dérivée de la fonction inverse
★☆☆Dériver $f(x) = \dfrac{3}{x}$ et $g(x) = -\dfrac{2}{x}$.
Variations de la fonction inverse
★☆☆Comparer $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{5}$, puis $\dfrac{1}{-2}$ et $\dfrac{1}{-4}$, en utilisant les variations de la fonction inverse.
Dériver une somme
★☆☆Dériver $f(x) = x^2 + \dfrac{4}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
Équation d'une tangente
★★☆Tangente à la courbe de $f(x) = x^3 - 3x$ au point d'abscisse $2$.
Signe de la dérivée
★★☆$f(x) = x^3 - 12x + 5$. Factoriser $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
Maximum sur un intervalle
★★☆$f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x$ sur $[0\,;\,4]$. Maximum ?
Coût moyen minimal
★★☆$C(q) = q^2 + 10q + 400$. Montrer que $C_M'(q) = \dfrac{q^2 - 400}{q^2}$ et trouver le coût moyen minimal.
Coût marginal
★☆☆Avec le même coût, calculer le coût marginal pour $q = 20$ et comparer au coût moyen minimal.
Bénéfice maximal
★★☆Chaque unité est vendue $60$ €. Exprimer le bénéfice $B(q)$ et le maximiser.
Zone de rentabilité
★★☆Avec le bénéfice précédent, pour quelles quantités l'entreprise est-elle rentable ?
Durée et vitesse
★★☆Pour parcourir $120$ km, la durée en heures est $t(v) = \dfrac{120}{v}$. Comment varie-t-elle quand la vitesse augmente ? Gain de temps entre $80$ et $100$ km/h ?
Concentration d'un médicament
★★☆$C(t) = t^3 - 12t^2 + 36t$ (mg/L) pour $t \in [0\,;\,6]$ (h). Quand la concentration est-elle maximale ?
Lire l'hyperbole
★☆☆Sur la figure du cours, lire $f(2)$ et résoudre $f(x) = 0{,}5$ puis $f(x) = -1$.
Volume maximal
★★★Le volume d'une boîte est $V(x) = -x^3 + 12x^2$ (cm³) pour $x \in [0\,;\,12]$. Volume maximal ?
Prix optimal
★★★La quantité vendue au prix $p$ est $200 - 2p$. Exprimer la recette $R(p)$ et trouver le prix qui la maximise.
Comportement de 1/x
★★☆Que deviennent les valeurs de $\dfrac{1}{x}$ quand $x$ devient très grand ? quand $x$ se rapproche de $0$ en restant positif ?
Vrai ou faux
★★☆a) La dérivée de $\dfrac{1}{x}$ est $\dfrac{1}{x^2}$. b) Si $f' \gt 0$ sur un intervalle, $f$ y est croissante. c) Le coût marginal est $C(q)/q$.
Variations d'un polynôme de degré 3
★★☆Dresser le tableau de variations de $f(x) = x^3 - 3x^2$.
Tangente horizontale
★☆☆En quel point la courbe de $f(x) = x^2 - 6x + 1$ a-t-elle une tangente horizontale ?
Coût moyen d'une entreprise
★★★$C(q) = 2q^2 + 50q + 800$. Trouver le coût moyen minimal.
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