Automatismes
Automatismes de Première (préparation de l'épreuve anticipée de mathématiques) : proportions et évolutions, calcul numérique et algébrique, équations, fonctions et lectures graphiques, dérivée et tangente, suites, probabilités et statistiques.
Méthode · Comment travailler les automatismes
Ces questions se traitent sans calculatrice et en moins d'une minute chacune, comme dans la partie « automatismes » des épreuves. Entraînez-vous par séries courtes et régulières ; repérez vos erreurs récurrentes.
Attention · Épreuve anticipée
Une partie de l'épreuve anticipée de mathématiques de fin de Première est consacrée aux automatismes : questions courtes (QCM ou réponses brèves), sans calculatrice. Ce chapitre en reprend tous les domaines.
1. Proportions, pourcentages, évolutions
Propriété
Proportion de proportion : $p = p_1 \times p_2$. Évolution : $V_A = V_D(1 + t)$ ; évolutions successives : $CM = CM_1 \times CM_2$ ; réciproque : $\dfrac{1}{CM}$.
2. Calcul et équations
Propriété
Isoler une variable dans une formule ($v = \dfrac{d}{t} \iff t = \dfrac{d}{v}$), développer, factoriser, résoudre des équations du premier degré, produit nul, $x^2 = a$.
3. Fonctions, dérivées, suites
Propriété
$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente en $a$ ; tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Dérivées : $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(e^x)' = e^x$. Suite arithmétique : $u_n = u_0 + nr$ ; géométrique : $u_n = u_0q^n$.
S'entraîner
Exercices corrigés
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Série 1 : proportions
★☆☆a) $30\,\%$ des élèves sont internes, dont la moitié sont des filles : proportion de filles internes ? b) $18$ sur $72$ en % ? c) $5\,\%$ de $5\,\%$ ?
Série 2 : évolutions
★☆☆a) Un prix de $120$ € baisse de $15\,\%$ ; b) une population passe de $800$ à $1\,000$ : taux ? c) $CM = 0{,}92$ : évolution ?
Série 3 : évolutions successives et réciproques
★★☆a) $+20\,\%$ puis $-20\,\%$ ; b) $-25\,\%$ : réciproque ? c) $+5\,\%$ par an pendant $2$ ans ?
Série 4 : calcul numérique
★☆☆a) $\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6}$ ; b) $\dfrac{2^5 \times 2^{-3}}{2^4}$ ; c) $\dfrac{10^{-3} \times 10^5}{10^{-1}}$ ; d) $\sqrt{18} + \sqrt{8}$.
Série 5 : ordres de grandeur
★☆☆Sans calculatrice : a) $\dfrac{0{,}49 \times 1\,987}{102}$ ; b) $3{,}02 \times 10^4 + 9{,}8 \times 10^3$.
Série 6 : isoler une variable
★★☆Exprimer : a) $t$ dans $v = \dfrac{d}{t}$ ; b) $r$ dans $A = \pi r^2$ ; c) $x$ dans $y = 3x - 2$ ; d) $R$ dans $U = RI$.
Série 7 : développer et factoriser
★☆☆a) Développer $(3x - 2)^2$ ; b) factoriser $9x^2 - 4$ ; c) factoriser $x^2 - 6x + 9$.
Série 8 : équations
★☆☆Résoudre : a) $3(x - 2) = x + 4$ ; b) $x^2 - 4x = 0$ ; c) $x^2 + 1 = 0$ ; d) $\dfrac{2}{x} = 5$.
Série 9 : second degré
★★☆a) Racines de $(x - 2)(x + 3)$ ; b) sommet de $x^2 - 4x + 1$ ; c) signe de $-(x - 1)(x - 5)$ sur $]1\,;\,5[$.
Série 10 : lecture d'une tangente
★☆☆Avec la figure du cours : a) $f(1)$ ; b) $f'(1)$ ; c) équation de la tangente en A.
Série 11 : dérivées
★☆☆Dériver : a) $x^3 - 2x$ ; b) $5x^2 + 3$ ; c) $\dfrac{1}{x}$ ; d) $3e^x$.
Série 12 : signe de la dérivée
★★☆$f'(x) = 2x - 4$. a) Signe de $f'$ ; b) variations de $f$ ; c) extremum.
Série 13 : suites
★☆☆a) $u_n = 3n + 1$ : $u_{10}$ ; b) $u_0 = 2$, $u_{n+1} = 3u_n$ : $u_3$ ; c) arithmétique, $u_0 = 5$, $r = -2$ : $u_4$.
Série 14 : exponentielle
★☆☆Simplifier : a) $e^2 \times e^3$ ; b) $\dfrac{e^5}{e^2}$ ; c) $(e^x)^2$ ; d) résoudre $e^x = 1$.
Série 15 : lecture graphique de fonctions
★☆☆Avec la figure du cours : a) sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ? b) maximum de $f$ ?
Série 16 : produit scalaire
★☆☆a) $\vec{u}(2\,;\,3) \cdot \vec{v}(4\,;\,-1)$ ; b) vecteurs $(1\,;\,2)$ et $(-2\,;\,1)$ orthogonaux ? c) $\|\vec{u}\|$ pour $\vec{u}(3\,;\,4)$.
Série 17 : probabilités conditionnelles
★★☆Sur $200$ élèves, $80$ font du sport, dont $30$ filles. Probabilité qu'un élève choisi au hasard soit une fille sportive ? Qu'un sportif soit une fille ?
Série 18 : arbre pondéré
★★☆$P(A) = 0{,}4$, $P_A(B) = 0{,}5$, $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}25$. Calculer $P(A \cap B)$ et $P(B)$.
Série 19 : statistiques
★☆☆Série : $4$ ; $6$ ; $6$ ; $9$ ; $10$ ; $13$. Moyenne, médiane, étendue ?
Série 20 : questions express
★★☆a) $2^{10}$ ; b) $\dfrac{1}{0{,}25}$ ; c) $0{,}1^3$ ; d) l'inverse de $-\dfrac{2}{3}$.
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