∑ Spécialité Mathématiques Première Générale · Chapitre 2

Le second degré

Fonctions polynômes du second degré, forme canonique, discriminant, factorisation, signe du trinôme, résolution algébrique et graphique des équations et inéquations.

1. Fonction polynôme du second degré

Définition

Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$. Sa courbe est une parabole, tournée vers le haut si $a \gt 0$, vers le bas si $a \lt 0$.

2. La forme canonique

Propriété

Tout trinôme s'écrit sous la forme canonique :

$$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \qquad \text{avec } \alpha = -\dfrac{b}{2a} \text{ et } \beta = f(\alpha).$$

Le point $S(\alpha\,;\,\beta)$ est le sommet de la parabole et la droite $x = \alpha$ est son axe de symétrie.

Méthode · Trouver la forme canonique

$f(x) = x^2 - 4x + 3$ : $\alpha = -\dfrac{-4}{2} = 2$ et $\beta = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$. Donc $f(x) = (x - 2)^2 - 1$.

Vérification : $(x - 2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3$ ?.

La parabole a pour sommet S(2 ; ?1) et pour axe de symétrie la droite x = 2. Elle coupe l'axe des abscisses en 1 et 3.

Propriété · Variations

Si $a \gt 0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,\alpha]$ puis croissante sur $[\alpha\,;\,+\infty[$ ; $\beta$ est le minimum. Si $a \lt 0$ : c'est l'inverse, $\beta$ est le maximum.

3. Résoudre ax² + bx + c = 0

Définition · Discriminant

Le discriminant du trinôme est $\Delta = b^2 - 4ac$.

Propriété · Solutions

Si $\Delta \gt 0$ : deux solutions $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
Si $\Delta = 0$ : une solution (double) $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
Si $\Delta \lt 0$ : aucune solution réelle.

Graphiquement, les solutions de f(x) = 0 sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses.

Exemple

$2x^2 - 3x - 2 = 0$ : $\Delta = 9 + 16 = 25 \gt 0$. $x_1 = \dfrac{3 - 5}{4} = -\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{3 + 5}{4} = 2$.

Attention · Cas particuliers

Inutile de calculer $\Delta$ si $c = 0$ ($x(ax + b) = 0$) ou si $b = 0$ ($x^2 = -\dfrac{c}{a}$), ou si une racine est évidente.

4. Factorisation, somme et produit des racines

Propriété

Si $\Delta \gt 0$ : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.
Si $\Delta = 0$ : $f(x) = a(x - x_0)^2$.
Si $\Delta \lt 0$ : $f(x)$ ne se factorise pas.

Lorsque les racines existent : $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.

Méthode · Racine évidente

$x^2 + 2x - 3$ : $x = 1$ est racine évidente ($1 + 2 - 3 = 0$). Le produit des racines vaut $\dfrac{c}{a} = -3$, donc l'autre racine est $-3$ : $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$.

5. Signe du trinôme

Propriété · Règle

Un trinôme est du signe de $a$, sauf entre ses racines (quand elles existent), où il est du signe contraire.

f(x) = ?x² + x + 6 (a < 0) : positive entre les racines ?2 et 3 (partie verte), négative à l'extérieur. Donc f(x) ? 0 ? x ? [?2 ; 3].

Tableau de signes de ?x² + x + 6 = ?(x + 2)(x ? 3).

6. Inéquations : résolution algébrique et graphique

Méthode · Résoudre une inéquation du second degré

Tout ramener à un membre : $ax^2 + bx + c \geq 0$ (ou $\gt$, $\leq$, $\lt$).
Calculer $\Delta$ et les racines éventuelles.
Appliquer la règle des signes (ou lire le tableau de signes).
Conclure par un intervalle ou une réunion d'intervalles.

Méthode · Graphiquement

Résoudre $f(x) \gt 0$, c'est chercher les abscisses des points de la parabole situés au-dessus de l'axe des abscisses. Résoudre $f(x) \leq g(x)$, c'est chercher les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ situés sous $\mathcal{C}_g$.

f(x) ? g(x) ? x² ? 3x ? 4 ? 0 ? x ? [?1 ; 4] : sur cet intervalle, la parabole est sous la droite.

Exemple · Résolution algébrique correspondante

$x^2 - 2x - 1 \leq x + 3 \iff x^2 - 3x - 4 \leq 0$. $\Delta = 9 + 16 = 25$, racines $-1$ et $4$. Le trinôme ($a = 1 \gt 0$) est négatif entre ses racines : $S = [-1\,;\,4]$.

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